斐波那契数列（简单）

01 Jun 2020 1220字 5分次
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一、题目描述

写一个函数，输入 n ，求斐波那契（Fibonacci）数列的第 n 项。斐波那契数列的定义如下：

F(0) = 0,   F(1) = 1
F(N) = F(N - 1) + F(N - 2), 其中 N > 1.

斐波那契数列由 0 和 1 开始，之后的斐波那契数就是由之前的两数相加而得出。

答案需要取模 1e9+7（1000000007），如计算初始结果为：1000000008，请返回 1。

示例1

输入：n = 2
输出：1

示例2

输入：n = 5
输出：5

提示

0 <= n <= 100

二、题目解析

递归法

如果没有时间上的限制，斐波那契的一般解决方法是递归的方法。
```
 /**
 * @param {number} n
 * @return {number}
 */
 var fib = function(n) {
     if(n < 2) return n;
     return fib(n-1)  + fib(n-2);
 };
```
但是这种方法会有大量重复的计算，导致超出leetcode的时间限制
记忆递归法

上面说到，未经优化的递归法会进行大量重复的计算，以fibonacci(5)为例

fibonacci(5) = fibonacci(4) + fibonacci(3); fibonacci(4) = fibonacci(3) + fibonacci(2);

可以看到，重复计算了fibonacci(3)两次。

为了减少这种重复计算，我们可以将计算过的结果保存起来，确保不会进行重复的计算。
```
 /**
 * @param {number} n
 * @return {number}
 */
 var fib = function(n) {
     const memo = [0,1];
     const fibonacci = function(n) {
         if(memo[n] != null) {
             return memo[n] % 1000000007;
         }
         return memo[n] = (fibonacci(n-1) + fibonacci(n-2)) % 1000000007;
     }
     return fibonacci(n);
 };
```
动态规划法

从计算效率、空间复杂度上看，动态规划是本题的最佳解法。

动态规划解析
- 状态定义: 设dp为以为数组，其中dp[i]的值代表斐波那契数列第i个数字
- 转移方程: dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]，即对应数列定义f(n) = f(n-1) + f(n-2)
- 初始状态： dp[0] = 0,dp[1] = 1，即初始化前两个数字
- 返回值: dp[n]，即斐波那契数列的第n个数字
```
 /**
 * @param {number} n
 * @return {number}
 */
 var fib = function(n) {
     const dp = [0,1];
     for(let i = 2;i <= n;i ++) {
         dp[i] = (dp[i-1] + dp[i-2]) % 1000000007;
     }
     return dp[n];
 };
```
- 时间复杂度: O(n)
- 空间复杂度: O(n)

来源：力扣（LeetCode）

链接：https://leetcode-cn.com/problems/fei-bo-na-qi-shu-lie-lcof

斐波那契数列（简单） yinshibanxian

一、题目描述

二、题目解析